Křivka Brachistochrone: 18 kroků (s obrázky)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-30 08:21

Křivka brachistochronu je klasický fyzikální problém, který odvozuje nejrychlejší cestu mezi dvěma body A a B, které jsou v různých nadmořských výškách. Ačkoli se tento problém může zdát jednoduchý, nabízí neintuitivní výsledek, a proto je fascinující sledovat. V tomto návodu se seznámíte s teoretickým problémem, vyvinete řešení a nakonec sestavíte model, který demonstruje vlastnosti tohoto úžasného principu fyziky.

Tento projekt je určen studentům středních škol, aby se v hodinách teorie zabývali souvisejícími pojmy. Tento praktický projekt nejen posiluje jejich pochopení tématu, ale také nabízí syntézu několika dalších oblastí, které je třeba rozvíjet. Například při stavbě modelu se studenti budou učit o optice prostřednictvím Snellova zákona, počítačového programování, 3D modelování, digitální frabrication a základních dovedností zpracování dřeva. To umožňuje celé třídě přispět dělením práce mezi sebou, což z ní dělá týmové úsilí. Čas potřebný k provedení tohoto projektu je přibližně týden a poté jej lze předvést třídě nebo mladším studentům.

Neexistuje lepší způsob, jak se učit, než prostřednictvím STEM, takže pokračujte a vytvořte si svůj vlastní funkční model brachistochrone. Pokud se vám projekt líbí, hlasujte pro něj ve třídě.

Krok 1: Teoretický problém

Problém brachistochrone je ten, který se točí kolem nalezení křivky, která spojuje dva body A a B, které jsou v různých nadmořských výškách, takže B není přímo pod A, takže pád mramoru pod vlivem rovnoměrného gravitačního pole podél této cesty bude dosáhnout B v nejrychlejším možném čase. Problém představil Johann Bernoulli v roce 1696.

Když se Johann Bernoulli v červnu 1696 ptal na problém brachistochrony čtenářům Acta Eruditorum, což byl jeden z prvních vědeckých časopisů německy mluvících zemí Evropy, dostal odpovědi od 5 matematiků: Isaac Newton, Jakob Bernoulli Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus a Guillaume de l'Hôpital, z nichž každý má jedinečný přístup!

Upozornění: Následující kroky obsahují odpověď a odhalují krásu této nejrychlejší cesty. Udělejte si chvilku a zkuste se nad tímto problémem zamyslet, možná ho rozluštíte stejně jako jeden z těchto pěti géniů.

Krok 2: Použití Snellova zákona k demonstraci

Jedním z přístupů k řešení problému s brachistochronem je vyřešit problém pomocí analogií se Snellovým zákonem. Snellův zákon se používá k popisu cesty, kterou by paprsek světla sledoval, aby se dostal z jednoho bodu do druhého při přechodu dvěma různými médii, pomocí Fermatova principu, který říká, že paprsek světla vždy projde nejrychlejší cestou. Formální odvození této rovnice lze nalézt na následujícím odkazu.

Protože volně padající předmět pod vlivem gravitačního pole lze přirovnat ke světelnému paprsku procházejícímu měnícím se médiem, pokaždé, když paprsek světla narazí na nové médium, paprsek se mírně odchýlí. Úhel této odchylky lze vypočítat pomocí Snellova zákona. Jak se pokračuje v přidávání vrstev snižujících hustoty před vychýleným paprskem světla, dokud paprsek nedosáhne kritického úhlu, kde se paprsek jednoduše odrazí, trajektorie paprsku popisuje křivku brachistochronu. (červená křivka na obrázku výše)

Brachistochronová křivka je ve skutečnosti cykloid, což je křivka vysledovaná bodem na okraji kruhového kola, když se kolo valí po přímce, aniž by proklouzlo. Pokud tedy potřebujeme nakreslit křivku, můžeme ji jednoduše vytvořit pomocí výše uvedené metody. Další jedinečnou vlastností křivky je, že míči uvolněnému z libovolného bodu křivky bude trvat přesně stejný čas, než dosáhne dna. Následující kroky popisují proces vytváření experimentu ve třídě vytvořením modelu.

Krok 3: Praktický experimentální model

Model se skládá z laserově řezaných drah, které fungují jako stopy pro kuličky. Abychom ukázali, že křivka brachistochronu je nejrychlejší cestou z bodu A do B, rozhodli jsme se ji porovnat se dvěma dalšími cestami. Vzhledem k tomu, že několik lidí intuitivně cítí, že nejkratší část je nejrychlejší, rozhodli jsme se dát jako druhou cestu přímý svah spojující oba body. Třetí je strmá křivka, protože by člověk cítil, že náhlý pokles vytvoří dostatečnou rychlost, aby porazil zbytek.

Druhý experiment, při kterém se kuličky uvolňují z různých výšek na třech drahách brachistochronu, probíhá tak, že míčky dosáhnou současně. Náš model tedy obsahuje 3D tištěné průvodce, které umožňují snadnou zaměnitelnost mezi akrylovými panely a umožňují provádět oba experimenty.

Nakonec uvolňovací mechanismus zajistí, aby byly kuličky spuštěny k sobě a časový modul ve spodní části zaznamenal časování, jak se míčky dostanou ke dnu. Abychom toho dosáhli, máme integrované tři koncové spínače, které se aktivují, když to koule spustí.

Poznámka: Tento design lze jednoduše zkopírovat a vyrobit jej z lepenky nebo jiného snadno dostupného materiálu

Krok 4: Potřebné materiály

Zde jsou díly a zásoby pro vytvoření pracovního modelu experimentu s brachistochronem

HARDWARE:

1 "prkno z borovicového dřeva - rozměry; 100 cm x 10 cm

Neodym Magnetx 4 - rozměry; Průměr 1 cm a výška 0,5 cm

Vlákno pro 3D tisk- PLA nebo ABS jsou v pořádku

Vložka se závitem M3 x 8 - (volitelně)

Šroub M3 x 8 - 2,5 cm dlouhý

Šroub do dřeva x 3 - 6 cm dlouhý

Šroub do dřeva dlouhý 12 - 2,5 cm

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- tyto přepínače budou fungovat jako časový systém

Stiskněte tlačítko

LCD displej

Jumpwire x many

Celkové náklady na model dosáhly přibližně 30 $

Krok 5: 3D tisk

Několik částí, jako je uvolňovací mechanismus a ovládací skříň, bylo vyrobeno pomocí 3D tiskárny. Následující seznam obsahuje celkový počet dílů a jejich tiskové specifikace. Všechny soubory STL jsou k dispozici ve složce připojené výše, což umožňuje v případě potřeby provést potřebné úpravy.

Kontrolní box x 1, 20% výplň

Vodítko x 6, 30% výplň

Koncová zastávka x 1, 20% výplň

Otočné rameno x 1, 20% výplň

Otočný držák x 1, 30% výplň

Uvolňovací kus x 1, 20% výplň

Díly byly vytištěny v PLA, protože na kusy nepůsobí žádné zvláštní napětí. Celkem to trvalo přibližně 40 hodin tisku.

Krok 6: Laserové řezání cest

Různé cesty, které jsme ve fusion 360 navrhli, byly exportovány jako soubory.dxf a poté vyříznuty laserem. Pro vytvoření křivek jsme vybrali neprůhledný bílý akryl o tloušťce 3 mm. Lze to dokonce vyrobit ze dřeva pomocí ručních nástrojů, ale je důležité zajistit, aby zvolený materiál byl tuhý, protože flexibilita může ovlivnit, jak se koule stáčejí dolů.

6 x Brachistochrone Curve

2 x strmá křivka

2 x přímá křivka

Krok 7: Řezání dřeva

Rám modelu je vyroben ze dřeva. Vybrali jsme borovici 1 "x 4", protože nám zbyly nějaké z předchozího projektu, i když lze použít dřevo dle vlastního výběru. Pomocí kotoučové pily a vodítka jsme nařezali dva kusy dřeva o délce:

48 cm, což je délka cesty

31 cm, což je výška

Hrubé hrany jsme vyčistili lehkým vybroušením na kotoučové brusce.

Krok 8: Vrtání otvorů

Před přišroubováním dvou kusů k sobě označte tloušťku dřeva na jednom konci spodního dílu a vycentrujte tři stejně vzdálené otvory. Použili jsme 5 mm bit k vytvoření pilotního otvoru na obou kusech dřeva a zapustili otvor na spodním dílu, aby bylo možné šroubovou hlavu zapustit do jedné roviny.

Poznámka: Dávejte pozor, abyste nerozdělili svislý kus dřeva, protože jeden bude vrtat do koncového zrna. Používejte také dlouhé vruty do dřeva, protože je důležité, aby se rám vlivem pákového efektu netřásl a horní části.

Krok 9: Vložení chladičů a magnetů

Vzhledem k tomu, že vlákna ve 3D tištěných částech se časem opotřebovávají, rozhodli jsme se vložit chladiče. Otvory jsou mírně poddimenzované, aby chladič lépe přilnul k plastu. Přes otvory jsme umístili chladiče M3 a zasunuli je špičkou páječky. Teplo rozpouští plast a nechává zuby vklínit se dovnitř. Ujistěte se, že jsou v jedné rovině s povrchem a kolmo dovnitř. Celkem je k dispozici 8 bodů pro závitové vložky: 4 pro víko a 4 pro montáž Arduino Uno.

Abychom usnadnili montáž rozvodové jednotky, vložili jsme do krabice magnety, což usnadňuje odpojení, pokud jsou někdy nutné změny. Magnety se musí před zatlačením na místo orientovat stejným směrem. S

Krok 10: Připojení koncových spínačů

Tři koncové spínače jsou připevněny k jedné straně rozvodové jednotky, která je obrácena ke spodní části cest. Když tedy kuličky kliknou na spínače, lze určit, která koule dosáhla jako první, a načasovat zobrazení na LCD displeji. Připájejte malé proužky drátu ke svorkám a zajistěte je ve štěrbinách kouskem lepidla CA, protože by se neměly uvolňovat po nepřetržitých úderech.

Krok 11: LCD displej

Víko rozvodové jednotky má obdélníkový výřez pro LCD obrazovku a otvor pro tlačítko „start“. Zajistili jsme displej otisky horkého lepidla, dokud nebyl v jedné rovině s povrchem víka, a upevnili červené tlačítko jeho upevňovací maticí.

Krok 12: Zapojení elektroniky

Zapojení spočívá v připojení různých komponent do správných kolíků na Arduinu. Při instalaci krabice postupujte podle výše uvedeného schématu zapojení.

Krok 13: Nahrání kódu

Níže naleznete kód Arduino pro projekt brachistochrone. V elektronickém prostoru jsou dva otvory pro snadný přístup k programovacímu portu Arduina a pro napájecí konektor.

Ke spuštění časovače slouží červené tlačítko, které je připevněno v horní části krabice. Jakmile kuličky stočí křivky a spustí koncové spínače, které jsou umístěny ve spodní části, časování se postupně zaznamenává. Po zasažení všech tří kuliček se na obrazovce LCD zobrazí výsledky zarovnané s příslušnými křivkami (obrázky připojené výše). Jakmile si všimnete výsledků v případě, že je vyžadováno druhé čtení, jednoduše znovu stiskněte hlavní tlačítko, čímž obnovíte časovač a zopakujete stejný postup.

Krok 14: Průvodci 3D tiskem

Vodítka, která byla vytištěna 3d, měla 3mm základnu materiálu, než začaly nosné stěny. Když by tedy byly akrylové panely zasunuty na místo, vznikla by mezera mezi panelem a dřevěným rámem, což by snižovalo stálost cesty.

Proto bylo nutné vodítko zapustit o 3 mm do dřeva. Protože jsme neměli router, vzali jsme ho do místní dílny a nechali ho udělat na frézce. Po troše broušení se otisky dobře přizpůsobily a mohli jsme je zajistit bočními šrouby do dřeva. Nahoře je připojena šablona pro umístění 6 vodítek na dřevěný rám.

Krok 15: Přidání zátky a časovací jednotky

Protože byl časový modul samostatným systémem, rozhodli jsme se vytvořit systém rychlé montáže a odpojování pomocí magnetů. Tímto způsobem lze snadno naprogramovat jednoduše vyjmutí jednotky. Namísto vytvoření šablony pro přenos polohy magnetů, které je třeba zapustit do dřeva, je jednoduše necháme spojit se s magnety na krabici a poté naneseme trochu lepidla a krabici položíme na kus dřeva. Značky lepidla se přenesly do dřeva, což nám umožnilo rychle vyvrtat otvory na přesných místech. Nakonec připojte 3D tištěnou zátku a časovací jednotka by měla těsně přiléhat, ale zároveň se mohla uvolnit mírným zatažením

Krok 16: Mechanismus uvolnění

Uvolňovací mechanismus je přímočarý. Pomocí matice a šroubu pevně spojte sekci C s otočným ramenem a vytvořte z nich jeden bezpečný kus. Poté vyvrtejte dva otvory uprostřed svislého dřeva a připevněte držák. Nasuňte otočný hřídel a mechanismus je hotový.

Krok 17: Experiment

Nyní, když je model připraven, můžete provést následující experimenty

Experiment 1

Opatrně zasuňte akrylové panely přímé cesty, křivky brachistochrone a strmé cesty (v tomto pořadí pro nejlepší efekt). Poté vytáhněte západku nahoru a umístěte tři koule na vrchol křivky a ujistěte se, že jsou navzájem dokonale vyrovnány. Držte je pevně na místě se západkou dolů. Nechte jednoho studenta vypustit míčky a dalšího žáka stisknout červené tlačítko, aby se spustil systém načasování. Nakonec pozorujte koule, které se kutálí po cestě, a analyzujte výsledky zobrazené na časovacím modulu. Nastavení kamery pro záznam zpomalených záběrů je ještě více vzrušující, protože závod můžete sledovat snímek po snímku.

Experiment 2

Stejně jako předchozí experiment sklouzněte do akrylových panelů, ale tentokrát musí být všechny cesty křivkou brachistonchrone. Opatrně požádejte studenta, aby tentokrát držel tři koule v různých nadmořských výškách a při uvolňování koulí stiskněte červené tlačítko. Sledujte úžasný okamžik, kdy se míče dokonale seřadí před cílovou čárou, a potvrďte pozorování výsledky.

Krok 18: Závěr

Výroba modelu brachistochrone je praktický způsob, jak vidět magické způsoby, kterými věda funguje. Experimenty jsou nejen zábavné a poutavé, ale také nabízejí syntézu učebních aspektů. Přestože je tento projekt primárně určen studentům středních škol, prakticky i teoreticky, lze tuto ukázku snadno uchopit mladšími dětmi a lze ji zobrazit jako zjednodušenou prezentaci.

Chtěli bychom povzbudit lidi, aby dělali věci, ať už jde o úspěch nebo neúspěch, protože na konci dne je STEM vždy zábava! Šťastné tvoření!

Pokud se vám pokyny líbí, dejte hlas v soutěži ve třídě a zanechte zpětnou vazbu v sekci komentáře.

Velká cena za třídu Vědecká soutěž