Gaussian a Parabola ke studiu světelných toků LED experimentální lampy: 6 kroků

2024 Autor: John Day | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-30 08:19

Zdravím všechny tvůrce a rušnou komunitu Instructable.

Merenel Research vám tentokrát přinese čistý výzkumný problém a způsob, jak jej vyřešit matematikou.

Sám jsem měl tento problém, když jsem počítal LED toky RGB LED lampy, kterou jsem postavil (a kterou naučím stavět). Po rozsáhlém hledání online jsem nenašel odpověď, takže zde zveřejňuji řešení.

PROBLÉM

Ve fyzice se velmi často musíme potýkat s křivkami, které mají tvar Gaussova rozdělení. Ano! Je to křivka ve tvaru zvonu, která se používá k výpočtu pravděpodobnosti a byla k nám přinesena velkým matematikem Gaussem.

Gaussova křivka je široce používána ve fyzických aplikacích v reálném životě, zvláště když se musíme vypořádat se zářením šířeným ze zdroje nebo přijímaným z přijímače, například:

- emise výkonu radiového signálu (např. Wi-Fi);

- světelný tok vyzařovaný z LED;

- čtení fotodiody.

V technickém listu výrobce je často uvedena skutečná hodnota oblasti Gaussova, což by byl celkový zářivý výkon nebo světelný tok v určité části spektra (např. LED), ale je obtížné vypočítat skutečné záření vyzařované na vrcholu křivky nebo ještě obtížnější poznat překrývající se záření dvou blízkých zdrojů, například pokud svítíme více než LED (např. modrá a zelená).

V tomto instruktážním článku vám vysvětlím, jak přiblížit Gaussovu křivku tak, aby byla snadněji uchopitelná: parabola. Odpovím na otázku: kolik Gaussových křivek je v parabole?

SPOILER → ODPOVĚĎ JE:

Gaussova oblast je vždy 1 jednotka.

Plocha odpovídající paraboly se stejnou základnou a výškou je 2,13krát větší než relativní Gaussova oblast (grafické znázornění viz obrázek).

Gaussian je tedy 46,94% jeho paraboly a tento vztah je vždy pravdivý.

Tato dvě čísla spolu souvisejí 0,46948 = 1/2,13, to je přísný matematický vztah mezi Gaussovou křivkou a její parabolou a naopak.

V této příručce vás provedu krok za krokem, abyste to objevili.

Jediný nástroj, který budeme potřebovat, je Geogebra.org, skvělý online matematický nástroj pro kreslení grafů.

Graf Geogebra, který jsem vytvořil pro srovnání paraboly s Gaussianem, najdete na tomto odkazu.

Tento instruktáž je dlouhý, protože je o demonstraci, ale pokud musíte rychle vyřešit stejný problém, jaký jsem měl s LED světelnými toky, nebo jiný jev s překrývajícími se Gaussovými křivkami, prosím skočte na tabulku, kterou najdete připojenou v kroku 5 této příručky, který vám usnadní život a automaticky za vás provede všechny výpočty.

Doufám, že se vám líbí aplikovaná matematika, protože o tom je tento návod.

Krok 1: Pochopení světla vyzařovaného z monochromatické LED diody

V této analýze vezmu v úvahu řadu barevných LED, jak jasně vidíte z jejich spektrálního grafu (první obrázek), jejich spektrální distribuce energie skutečně vypadá jako Gaussova, který konverguje do osy x při -33 a +33 nm střední hodnoty (výrobci obvykle dává tuto specifikaci). Uvažujte však, že zobrazení této tabulky normalizuje všechna spektra na jedné napájecí jednotce, ale LED diody mají různý výkon podle toho, jak efektivně jsou vyráběny a kolik elektrického proudu (mA) do nich přivádíte.

Jak vidíte, světelný tok dvou LED se ve spektru překrývá. Řekněme, že chci snadno vypočítat překrývající se oblast těchto křivek, protože v této oblasti bude dvojnásobné množství energie a chci vědět, kolik energie v temenech lumen (lm) tam máme, no to není snadný úkol, na který se pokusíme odpovědět v této příručce. Problém nastal, protože když jsem stavěl experimentální lampu, opravdu jsem chtěl vědět, jak moc se modré a zelené spektrum překrývají.

Zaměříme se pouze na monochromatické LED diody, které vyzařují v úzké části spektra. V grafu: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Skutečná lampa, kterou stavím, je RGB)

POZADÍ FYZIKY

Pojďme se trochu převinout a nejprve si trochu vysvětlit fyziku.

Každá LED má barvu, nebo vědecky bychom řekli, že má vlnovou délku (λ), která ji určuje a která se měří v nanometrech (nm) a λ = 1/f, kde f je frekvence oscilace fotonu.

To, čemu říkáme ČERVENÁ, je v podstatě (skvělá) hromada fotonů, které oscilují při 630 nm, tyto fotony zasáhnou hmotu a odrazí se nám do očí, které fungují jako receptory, a poté váš mozek zpracuje barvu objektu jako ČERVENOU; nebo by vám fotony mohly jít přímo do očí a vy byste viděli LED, která je vyzařuje, zářící ČERVENOU barvou.

Bylo objeveno, že to, čemu říkáme světlo, je ve skutečnosti jen malá část elektromagnetického spektra mezi 380 nm a 740 nm; světlo je tedy elektromagnetická vlna. Na této části spektra je zvědavé, že je to právě ta část spektra, která snadněji prochází vodou. Hádej co? Naši dávní předkové z prapůvodní polévky byli ve vodě a ve vodě se u prvních, složitějších živých bytostí začaly vyvíjet oči. Doporučuji vám podívat se na video Kurzgesagta, které jsem připojil, abyste lépe porozuměli tomu, co je světlo.

Abychom to shrnuli, LED vydává světlo, což je určité množství radiometrického výkonu (mW) při určité vlnové délce (nm).

Obvykle, když máme co do činění s viditelným světlem, nemluvíme o radiometrickém výkonu (mW), ale o světelném toku (lm), což je měrná jednotka vážená při reakci na viditelné světlo očí lidí, pochází z kandela měrná jednotka, a ta se měří v lumenech (lm). V této prezentaci se budeme zabývat lumeny vyzařovanými z LED diod, ale vše bude platit pro mW přesně ve stejné míře.

V jakémkoli datovém listu LED vám výrobce poskytne tyto informace:

Například z tohoto přiloženého datového listu vidíte, že pokud napájíte obě diody 100mA, máte následující:

MODRÁ má 480 nm a má 11 lm světelného toku;

ZELENÁ je na 530 nm a má 35 lm světelného toku.

To znamená, že Gaussova křivka modré bude vyšší, zvýší se více, aniž by se změnila její šířka, a bude oscilovat kolem části ohraničené modrou čarou. V tomto příspěvku vysvětlím, jak vypočítat výšku Gaussova, která vyjadřuje plný špičkový výkon emitovaný LED, nejen výkon emitovaný v této části spektra, bohužel tato hodnota bude nižší. Dále se pokusím přiblížit překrývající se část dvou LED diod, abychom pochopili, jak moc se světelný tok překrývá, když máme co do činění s LED diodami, které jsou ve spektru „sousedy“.

Měření toku LED je velmi složitá záležitost, pokud toužíte vědět víc, nahrál jsem podrobný dokument od společnosti Osram, který vysvětluje, jak se věci dělají.

Krok 2: Úvod do paraboly

Nebudu se příliš rozepisovat o tom, co je parabola, protože se ve škole hodně studuje.

Rovnici paraboly lze napsat v následujícím tvaru:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES NÁM POMÁHÁ

To, co bych chtěl zdůraznit, je důležitá geometrická věta od Archimeda. Věta říká, že plocha paraboly omezené na obdélník se rovná 2/3 plochy obdélníku. Na prvním obrázku s parabolou vidíte, že modrá oblast je 2/3 a růžové oblasti jsou 1/3 plochy obdélníku.

Parabolu a její rovnici můžeme vypočítat tak, že známe tři body paraboly. V našem případě vypočítáme vrchol a známe průsečíky s osou x. Například:

MODRÝ LED vrchol (480,?) Y vrcholu se rovná světelnému výkonu vyzařovanému na špičkové vlnové délce. Pro jeho výpočet použijeme vztah, který existuje mezi oblastí Gaussova (skutečný tok vyzařovaný LED) a oblastí paraboly a pomocí Archimedovy věty poznáme výšku obdélníku, který tuto parabolu obsahuje.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLICKÝ MODEL

Při pohledu na obrázek, který jsem nahrál, můžete vidět složitý model, který s parabolami představuje několik různých světelných toků LED, ale víme, že jejich reprezentace není přesně taková, protože připomíná spíše Gaussian.

U paraboly však pomocí matematických vzorců můžeme najít všechny body průsečíků několika paraboly a vypočítat protínající se oblasti.

V kroku 5 jsem připojil tabulku, do které jsem vložil všechny vzorce pro výpočet všech parabolek a jejich protínajících se oblastí monochromatických LED diod.

Gaussova základna LED je obvykle velká 66 nm, takže pokud známe dominantní vlnovou délku a aproximujeme záření LED parabolou, víme, že relativní parabola protne osu x v λ+33 a λ-33.

Jedná se o model, který přibližuje celkové vyzařované světlo LED pomocí paraboly. Ale víme, že pokud chceme být přesní, není to úplně správné, museli bychom použít Gaussovy křivky, což nás přivádí k dalšímu kroku.

Krok 3: Úvod do Gaussovy křivky

Gaussova křivka, která bude znít složitěji než parabola. To bylo vynalezeno Gaussem k interpretaci chyb. Ve skutečnosti je na této křivce velmi užitečné vidět pravděpodobnostní rozdělení jevu. Pokud se od průměru pohybujeme směrem doleva nebo doprava, máme určitý jev méně častý a jak vidíte z posledního obrázku, tato křivka je velmi dobrým přiblížením skutečných životních událostí.

Gaussův vzorec je strašidelný, který vidíte jako druhý obrázek.

Gaussovy vlastnosti jsou:

- je symetrický vzhledem k průměru;

- x = μ se shoduje nejen s aritmetickým průměrem, ale také s mediánem a režimem;

- je na ose x na každé straně asymptotický;

- klesá o xμ;

- má dva inflexní body v x = μ-σ;

- plocha pod křivkou je 1 jednotka (což je pravděpodobnost, kterou by každé x ověřilo)

σ je standardní odchylka, čím větší číslo, tím širší je Gaussova základna (první obrázek). Pokud je hodnota v části 3σ, věděli bychom, že se skutečně vzdaluje od průměru a je menší pravděpodobnost, že se to stane.

V našem případě u LED známe oblast Gaussova, což je světelný tok uvedený v datovém listu výrobce při daném vrcholu vlnové délky (což je průměr).

Krok 4: Ukázka s Geogebrou

V této části vám ukážu, jak pomocí Geogebry prokázat, že parabola je 2,19krát větší než Gaussova.

Nejprve musíte vytvořit několik proměnných kliknutím na příkaz posuvníku:

Směrodatná odchylka σ = 0,1 (směrodatná odchylka definuje, jak široká je Gaussova křivka, vložil jsem malou hodnotu, protože jsem ji chtěl zúžit na simulaci spektrálního rozdělení výkonu LED)

Průměr je 0, takže Gaussian je postaven na ose y, kde je snazší pracovat.

Kliknutím na funkci malých vln aktivujete funkční sekci; tam kliknutím na fx můžete vložit Gaussův vzorec a uvidíte na obrazovce vyskočit pěkně vysokou Gaussovu křivku.

Graficky uvidíte, kde se křivka sbíhá na ose x, v mém případě v X1 (-0,4; 0) a X2 (+0,4; 0) a kde je vrchol ve V (0; 4).

S tímto třemi body máte dostatek informací k nalezení rovnice paraboly. Pokud nechcete provádět ruční výpočty, použijte v následujícím kroku tento web nebo tabulku.

Pomocí příkazu funkce (fx) vyplňte právě nalezenou funkci paraboly:

y = -25x^2 +4

Nyní musíme pochopit, kolik Gaussů je v parabole.

Budete muset použít příkaz function a vložit příkaz Integral (nebo Integrale v mém případě, jak jsem používal italskou verzi). Definitivní integrál je matematická operace, která nám umožňuje vypočítat plochu funkce definované mezi hodnotami x. Pokud si nepamatujete, co je to určitý integrál, čtěte zde.

a = integrální (f, -0,4, +0,4)

Tento vzorec Geogebra vyřeší definovaný integrál mezi -0,4 a +0,4 funkce f, Gaussova. Protože máme co do činění s Gaussianem, jeho plocha je 1.

Udělejte to samé pro parabolu a objevíte magické číslo 2.13. Což je klíčové číslo pro všechny převody světelného toku pomocí LED diod.

Krok 5: Příklad skutečného života s LED diodami: Výpočet špičky toku a překrývajících se toků

LUMINOUS FLUX AT THE PEAK

Vypočítat skutečnou výšku míchaných Gaussových křivek rozdělení toku LED, nyní, když jsme objevili převodní faktor 2,19, je velmi snadné.

například:

MODRÁ LED má 11lm světelný tok

- převedeme tento tok z Gaussova na parabolický 11 x 2,19 = 24,09

- pomocí Archimédovy věty vypočítáme relativní plochu obdélníku, která obsahuje parabolu 24,09 x 3/2 = 36,14

- zjistíme, že výška tohoto obdélníku se dělí pro základnu Gaussova pro MODROU LED diodu, uvedenou v datovém listu nebo v grafu datového listu, obvykle kolem 66 nm, a to je naše síla na vrcholu 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

PŘEKRYTÍ SVĚTELNÝCH PLOCHÝCH OBLASTI

Pro výpočet dvou překrývajících se záření vysvětlím na příkladu s následujícími dvěma LED:

MODRÁ má 480 nm a 11 lm světelného toku ZELENÁ je 530 nm a má 35 lm světelného toku

Víme a vidíme z grafu, že obě Gaussovy křivky konvergují v -33nm a +33nm, v důsledku toho víme, že:

- MODRÁ protíná osu x v 447nm a 531nm

- ZELENÁ protíná osu x v 497nm a 563nm

Zřetelně vidíme, že se tyto dvě křivky protínají, protože jeden konec prvního je za začátkem druhého (531 nm> 497 nm), takže světlo těchto dvou LED se v některých bodech překrývá.

Nejprve musíme pro obě vypočítat rovnici paraboly. Přiložená tabulka je zde, aby vám pomohla s výpočty, a vložila vzorce k řešení systému rovnic k určení dvou paraboly, které znají protínající se body osy x a vrchol:

MODRÁ parabola: y = -0,0004889636025x^2 + 0,4694050584x -112.1247327

ZELENÁ parabola: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

v obou případech a> 0 a, takže parabola správně ukazuje vzhůru nohama.

Chcete -li dokázat, že tyto paraboly jsou správné, vyplňte a, b, c v kalkulačce vrcholů na této webové stránce kalkulačky paraboly.

V tabulce jsou již provedeny všechny výpočty pro nalezení průsečíků mezi parabolami a pro výpočet určitého integrálu pro získání protínajících se oblastí těchto parabolas.

V našem případě jsou protínající se oblasti modrého a zeleného spektra LED 0,4247.

Jakmile máme protínající se paraboly, můžeme tuto nově založenou protínající se oblast vynásobit Gaussovým multiplikátorem 0,4694 a najít velmi blízkou aproximaci toho, kolik energie LED diody celkem v této části spektra společně vydávají. Chcete -li najít jediný tok LED emitovaný v této sekci, vydělte 2.

Krok 6: Studie monochromatických LED diod experimentální lampy je nyní dokončena

Děkuji moc za přečtení tohoto výzkumu. Doufám, že vám bude užitečné hluboce pochopit, jak světlo vyzařuje z lampy.

Studoval jsem toky LED speciálních lamp vyrobených ze tří typů monochromatických LED.

„Ingredience“pro výrobu této lampy jsou:

- 3 LED BLU

- 4 LED ZELENÉ

- 3 LED ČERVENÉ

- 3 odpory k omezení proudu ve větvích obvodu LED

- 12V 35W napájecí zdroj

- Reliéfní akrylový kryt

- Ovládání OSRAM OT BLE DIM (řídicí jednotka Bluetooth LED)

- Hliníkový chladič

- Šrouby a matice M5 a L držáky

Ovládejte vše pomocí aplikace Casambi APP ze svého smartphonu, každý LED kanál můžete zapnout a ztlumit samostatně.

Postavení lampy je velmi jednoduché:

- připevněte LED k chladiči oboustrannou páskou;

- všechny BLU LED zapojte do série s rezistorem a proveďte totéž s druhou barvou pro každou větev obvodu. Podle LED, které si vyberete (použil jsem Lumileds LED), budete muset zvolit velikost rezistoru v závislosti na tom, kolik proudu budete do LED přivádět a na celkovém napětí daném napájecím zdrojem 12V. Pokud nevíte, jak to udělat, doporučuji vám přečíst si tento skvělý návod, jak určit velikost rezistoru pro omezení proudu řady LED diod.

-připojte vodiče ke každému kanálu Osram OT BLE: všechny hlavní kladné větve LED diod směřují do společného (+) a tři záporné větve do příslušného -B (modrá) -G (zelená) -R (červená).

- Připojte napájecí zdroj ke vstupu Osram OT BLE.

Na Osram OT BLE je nyní skvělé to, že můžete vytvářet scénáře a programovat kanály LED, jak můžete vidět v první části videa ztlumuji tři kanály a v druhé části videa používám některé předem připravené světelné scénáře.

ZÁVĚRY

Široce jsem používal matematiku, abych hluboce porozuměl tomu, jak se toky těchto lamp šíří.

Opravdu doufám, že jste se dnes naučili něco užitečného a udělám vše, co je v mých silách, abych přivedl k poučení více případů hlubokého aplikovaného výzkumu, jako je tento.

Výzkum je klíčem!

Tak dlouho!

Pietro